Con esta entrada pretendemos hacer una pequeña introducción a la trigonometría que vamos a requerir.
Definiciones
Suponemos conocida la función periódica seno, $\sin$, definida en toda la recta real con imagen en el intervalo $[-1,1]$.
A partir de ella nos definimos las siguientes funciones trigonométricas:
- $\displaystyle \cos x := \sin \left(x +\frac{\pi}{2}\right) \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ (función coseno)
- $\displaystyle \tan x := \frac{\sin x}{\cos x} \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ (función tangente)
- $\displaystyle \cot x := \frac{\cos x}{\sin x} \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ (función cotangente)
- $\displaystyle \sec x := \frac{1}{\cos x} \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ (función secante)
- $\displaystyle \csc x := \frac{1}{\sin x} \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ (función cosecante)
- $\displaystyle \arcsin := \sin^{-1}$ (función arcoseno)
- $\displaystyle \arccos := \cos^{-1}$ (función arcocoseno)
- $\displaystyle \arctan:= \tan^{-1}$ (función arcotangente)
- $\displaystyle \mbox{arccot}:= \cot^{-1}$ (función arcocotangente)
- $\displaystyle \mbox{arcsec}:= \sec^{-1}$ (función arcosecante)
- $\displaystyle \mbox{arccsc}:= \csc^{-1}$ (función arcocosecante)
Axiomas
Recordemos ahora las siguientes expresiones básicas de la trigonometría, que tomaremos como axiomas:
Propiedades
A partir de estas tres veremos algunas propiedades sencillas de interés:
(P1). $\displaystyle \sin 2x=2 \sin x \cdot \cos x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$
Haciendo $x=y$ en (T3).
(P2). $\displaystyle \cos 2x=\cos^2 x - \sin^2 x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$
Haciendo $x=y$ en (T3).
(P3). $\displaystyle \cos^2 x = \frac{1}{2}(1+\cos 2x) \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$
Aplicando (T1) en (P2) de la siguiente manera:
$\displaystyle\cos 2x=\cos^2 x - \sin^2 x = \cos^2 x - (1- \cos^2 x)= 2\cos^2 x - 1$
(P4). $\displaystyle \sin^2 x = \frac{1}{2}(1-\cos 2x) \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$
Aplicando (T1) en (P2) de la siguiente manera:
$\displaystyle\cos 2x=\cos^2 x - \sin^2 x = (1-\sin^2 x) - \sin^2 x= 1- 2\sin^2 x$
(P5). $\tan^2 x +1 =\sec^2 x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$
Basta con dividir entre $\cos^2 x$ en (T1).
(P6). $\cot^2 x +1 =\csc^2 x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$
Basta con dividir entre $\sin^2 x$ en (T1).
I con esto no tendremos problemas en deducir prácticamente nada de lo que utilicemos.
Axioma T3 ¿no sería? \displaystyle $(\cos x \pm \sin y)= \cos x \dot \cos y \mp \sin x \dot \sin y$
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