sábado, 6 de abril de 2013

Nociones de trigonometría

La integración de funciones suele incluir con frecuencia funciones compuestas por funciones trigonométricas, de modo que un pequeño estudio sobre las mismas y sus propiedades más inmediatas siempre puede ser interesante para afrontar con buen pie el cálculo integral.

Con esta entrada pretendemos hacer una pequeña introducción a la trigonometría que vamos a requerir.


Definiciones


Suponemos conocida la función periódica seno, $\sin$, definida en toda la recta real con imagen en el intervalo $[-1,1]$.

A partir de ella nos definimos las siguientes funciones trigonométricas:
  • $\displaystyle \cos x := \sin \left(x +\frac{\pi}{2}\right) \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$  (función coseno)
  • $\displaystyle \tan x := \frac{\sin x}{\cos x} \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$  (función tangente)
  • $\displaystyle \cot x := \frac{\cos x}{\sin x} \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$  (función cotangente)
  • $\displaystyle \sec x := \frac{1}{\cos x} \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$  (función secante)
  • $\displaystyle \csc x := \frac{1}{\sin x} \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$  (función cosecante)
I denotamos sus funciones inversas como:
  • $\displaystyle \arcsin := \sin^{-1}$  (función arcoseno)
  • $\displaystyle \arccos := \cos^{-1}$  (función arcocoseno) 
  • $\displaystyle \arctan:= \tan^{-1}$  (función arcotangente)  
  • $\displaystyle \mbox{arccot}:= \cot^{-1}$  (función arcocotangente)   
  • $\displaystyle \mbox{arcsec}:= \sec^{-1}$  (función arcosecante)  
  • $\displaystyle \mbox{arccsc}:= \csc^{-1}$  (función arcocosecante)   
 

Axiomas


Recordemos ahora  las siguientes expresiones básicas de la trigonometría, que tomaremos como axiomas:
          (T1). $\displaystyle \sin^2 x + \cos^2 x=1 \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$
          (T2). $\displaystyle \sin(x+y)= \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y \ \ \ \forall x, y \in \mathbb{R}$
          (T3). $\displaystyle \sin(x+y)= \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y \ \ \ \forall x, y \in \mathbb{R}$


    Propiedades


    A partir de estas tres veremos algunas propiedades sencillas de interés:

          (P1).  $\displaystyle \sin 2x=2 \sin x \cdot \cos x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$
          
          Haciendo $x=y$ en (T3).

          (P2).  $\displaystyle \cos 2x=\cos^2 x - \sin^2 x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ 

          Haciendo $x=y$ en (T3).

          (P3). $\displaystyle \cos^2 x  = \frac{1}{2}(1+\cos 2x) \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ 

          Aplicando (T1) en (P2) de la siguiente manera: 

          $\displaystyle\cos 2x=\cos^2 x - \sin^2 x = \cos^2 x - (1- \cos^2 x)= 2\cos^2 x - 1$ 

          (P4). $\displaystyle \sin^2 x  = \frac{1}{2}(1-\cos 2x) \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ 
          Aplicando (T1) en (P2) de la siguiente manera: 

          $\displaystyle\cos 2x=\cos^2 x - \sin^2 x = (1-\sin^2 x) - \sin^2 x= 1- 2\sin^2 x$

          (P5). $\tan^2 x +1 =\sec^2 x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$

          Basta con dividir entre $\cos^2 x$  en  (T1).

          (P6). $\cot^2 x +1 =\csc^2 x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$

          Basta con dividir entre $\sin^2 x$ en (T1).

    I con esto no tendremos problemas en deducir prácticamente nada de lo que utilicemos.

    1 comentario:

    1. Axioma T3 ¿no sería? \displaystyle $(\cos x \pm \sin y)= \cos x \dot \cos y \mp \sin x \dot \sin y$

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