Integrales indefinidas de $\sin^2 x$ y $\cos^2 x$

Hoy vamos a estudiar las integrales $\int \sin^2 x \ dx$ y $\int \cos^2 x \ dx$.

Antes que nada nos interesa hacer notar que:

\[ \int \cos 2 x \ dx  \overset{(*)}{=} \frac{1}{2} \sin 2x + k \ \ \ \forall k \in \mathbb{R} \] 

De la misma manera:

\[ \int \sin 2 x \ dx  = -\frac{1}{2} \cos 2x + k \ \ \ \forall k \in \mathbb{R} \] 

(Símplemente viendo las antiderivadas que requieren el uso de la regla de la cadena).

Ahora procedamos a calcular nuestras integrales:
\begin{align}
\displaystyle \int \sin^2 x \ dx & \overset{(P4)}{=}\int\frac{1}{2}(1-\cos 2x) \ dx=\frac{1}{2}\int1-\cos 2x \ dx = \\ & \! \ = \frac{1}{2}\left(\int1\ dx - \int \cos 2x \ dx\right) \overset{(*)}{=}  \frac{1}{2}\left(x -  \frac{1}{2} \sin 2x \right)  + k \ \ \ \forall k \in \mathbb{R}\end{align}

\begin{align}
\displaystyle \int \cos^2 x \ dx & \overset{(P3)}{=}\int\frac{1}{2}(1+\cos 2x) \ dx=\frac{1}{2}\int1+\cos 2x \ dx = \\ & \! \ =  \frac{1}{2}\left(\int1\ dx + \int \cos 2x \ dx\right) \overset{(*)}{=}  \frac{1}{2}\left(x +  \frac{1}{2} \sin 2x \right)  + k \ \ \ \forall k \in \mathbb{R}\end{align}
Donde (P3) y (P4) son las respectivas identidades trigonométricas vistas en la entrada "Nociones de trigonometría".

I con esto tenemos las integrales que queríamos obtener.