El área de la circunferencia

Todos hemos estudiado ya en el instituto, cuando éramos más pequeñitos que el área de la circunferencia es $\pi\cdot r^2$ donde $r$ és la longitud del radio de la misma. Hoy vamos a deducir esto mismo mediante el uso de integrales.

Para simplificar la tarea trabajaremos con la circunferencia de radio unidad y una vez vista la idea buscaremos la expresión para el área la circunferencia de radio $r$.

Para tales efectos, y sin perdida de generalidad, podemos considerar la circunferencia centrada en el origen, de manera que la circunferencia que nos interesa es el conjunto:
$$C_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ : \ x^2+y^2 = 1\}$$
Si despejamos la $y$, obtenemos:
$$C_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ : \ y = \pm \sqrt{1-x^2}\}$$
Que define las dos funciones:
$$f(x) =  \sqrt{1-x^2} \ \wedge \ g(x) = - \sqrt{1-x^2}$$
Ahora, si consideramos la integral de $f$ o de $g$ tendremos el área de la semicircunferencia. Por comodidad trabajaremos con $f(x)$:
$$Área(C_1)= 2\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\ dx$$
I por simetría:
$$Área(C_1)= 2\cdot 2 \int_{0}^1 \sqrt{1-x^2} \ dx$$
Si hacemos un cambio de variable $x=\sin t$, tenemos:
\begin{align}
Área(C_1)&= 4 \int_{0}^1 \sqrt{1-x^2}\ dx=4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2 t}\cdot \cos t \ dt\overset{(T1)}{=}\\
&=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^2 t}\cdot \cos t \ dt \overset{(*)}{=} 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \cdot \cos t \ dt = \\
&=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \ dt \overset{(**)}{=}4\left[\frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{2} \sin 2x \right)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\\
&=4\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin 2\frac{\pi}{2} \right)- \frac{1}{2}\left(0 + \frac{1}{2} \sin 2\cdot 0 \right)\right)=\\
&=4\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi \right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} \sin 0 \right)\right)=4\frac{\pi}{4}=\pi
\end{align}
Donde (T1) es la respectiva identidad trigonométrica vista como axioma en la entrada "Nociones de trigonometría".

De la misma manera, para una circunferencia de radio $r$:
$$C_r = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ : \ y = \pm \sqrt{r^2-x^2}\}$$ 
Considerando la integral como antes:
$$Área(C_r)= 4 \int_{0}^r \sqrt{r^2-x^2} \ dx$$
Esta vez nos interesa el cambio de variable $x=r\sin t$:
\begin{align}
Área(C_r)&= 4 \int_{0}^r \sqrt{r^2-x^2}\ dx=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2-r^2\sin^2 t}\cdot r\cos t \ dt=\\
&=4r\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2(1-\sin^2 t)}\cdot \cos t \ dt=4r^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2 t}\cdot \cos t \ dt\overset{(***)}{=}4r^2\frac{\pi}{4}=\pi r^2
\end{align}
 I obtenemos como resultado la famosa formula del área de la circunferencia.

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$^{(*)}$ En este paso con debemos tener cuidado. Y es que $\sqrt{cos^2 x}=cos x$ sólo porque estamos trabajando en el intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$ donde la función coseno únicamente toma valores positivos.

$^{(**)}$ La integral $\int cos^2 x \ dx$ ya la hemos abordado aquí.

$^{(***)}$ Aquí tenemos justo la misma integral que nos aparecía en el caso particular de la circunferencia de radio 1.